Quadratische Funktionen

    Hi (alle roten 2 sollten hoch 2 bedeuten)
    Also wir haben gerade Quadratische Funktionen in Mathe. Nun haben wir die "Normalparabel" angeschaut:

    Code
    f(x) = x[COLOR=Red]2 [/COLOR]

    Danach stellen wir diese in eine Graph dar.

    Code
    f(x) = (x - u)[COLOR=Red]2[/COLOR]   + v

    -u: Bedeutet ja, dass der Anfangspunkt des Graphs nach rechts geht, also in die "plus richtung" (auf der x achse). Währe es aber +u, so würde es in die "minus richtung gehen" (auf der x achse).

    Der Scheitelpunkt s(u, v):

    Code
    f(x) = (x - 4)[COLOR=Red]2[/COLOR] + 2
s(u, v) = s(4, 2)

    Hier wird auch wieder aus dem -u ein +u (?!) aber das v verändert sich nicht?!

    Danach kamen wir zur "Allgemeinen Parabel":

    Code
    f(x) = ax[COLOR=Red]2[/COLOR]

    Hier gibt a die "Öffnung" der Parabel an.

    Code
    a > 1 : Öffnung nach oben, schmal
a = 1 : Öffnung nach oben, normal
0 < a < 1: Öffnung nach oben gross
a = 0 : die Parabel verläuft an der x-achse
-1 < a < 0: Öffnung nach unten, gross
etc.

    Hier das "gröste Problem":

    Code
    f(x) = 3(x + 1)[COLOR=Red]2[/COLOR] + 2
s(u, v) = s(-1, 2)
Öffnung a = 3

    ergiebt ausgerechnet

    Code
    Allg. Form: f(x) = ax[COLOR=Red]2[/COLOR] + bx + c
3x[COLOR=Red]2[/COLOR] + 6x + 5


Schnittpunkt mit y-achse = c = 5

    Nun müssen wir aber aus der form 3x2 + 6x + 5 wieder die form 3(x + 1)2 + 2 ausrechnen. Aber ich check nicht wie?:oops:

    Also das ist allgemein eine nicht ganz so einfache Sache. Nennt sich Quadratische ergänzung und kann recht anspruchsvoll sein.

    Bei diesem einfachen Beispiel machst du das so:
    # die Zahl vor dem x, also a ausklammern
    y = 3(x² + 2x) + 5
    # nun musst du halt wissen, dass x² und 2x als Ergebnis rauskommt von (x+1)², dazu fehlt dir aber eine 1
    deshalb schreibst du die Gleichung um
    y = 3(x² + 2x + 1 - 1) + 5
    also erhälst du:
    y = 3((x+1)² -1) + 5
    # die 1 rausziehen aus der Klammer
    y = 3(x+1)² - 3 + 5 = 3(x+1)² + 2

    Ich hoffe, ich habe das ausführlich dargestellt.

    PS: ² erhälst du mit alt + strg + 2

    Ich seh grad du hast noch n Problem:

    Zitat von minder


    Der Scheitelpunkt s(u, v):

    Code
    f(x) = (x - 4)[COLOR=Red]2[/COLOR] + 2
s(u, v) = s(4, 2)

    Hier wird auch wieder aus dem -u ein +u (?!) aber das v verändert sich nicht?!

    So darfst du nicht denken. Entweder du merkst dir wies geht, oder du machst es dir mal klar.

    Die x Koordinate des Scheitelpunktes erhälst du, indem du einfach (x-u) = 0 setzt.
    (warum das so ist, kann ich dir nur erklären, wenn ihr schon Ableitungen druchgenommen habt.)

    falls u = 0, liegt der Punkt dann eben bei x = 0
    ansonsten liegt der Punkt bei x - u = 0, d.h. xsp = u

    Den y-Wert des Scheitelpunktes der Parabel erhälst du für x = xsp
    also einfach in die Parabelgleichung den x-Wert des Scheitelpunktes einsetzen und du erhälst den y-Wert. Dieser ist immer v.
    ysp = v

    du solltest dir alle mal aufzeichen mit verschiedenen werten und dir so veranschaulichen wie die einzelnen parameter in der funktion welche auswirkungen haben
    das hilft im verständniss und man kann sowas dann viel besser überblicken
    zum beispiel:
    f1(x)=(x-a)^2 + b

    a=1 b=1
    a=-2 b=4
    a=1 b=3

    dann hast du 3 funktionen über einen wertebereich von -7 < x < 7
    und das mit jeder darstellungsform wo du noch probleme hast
    und nich mit dem taschenrechner darstellen lassen
    da zählt noch handrechnung sonst bringt das nich viel

    ok, ich glaube ableitungen hatten wir noch nicht. unser lehrer hat es uns einfach mal so erklärt:D

    hi
    habs mal versucht mit
    2x^2 -4x
    dann ausklammern
    2(x^2 - 4x)

    jetzt ergiebt ja
    (x-2)^2 = x^2 -4x -4
    aber in den klammer fehlt ja das -4
    2(x^2 - 4x [-4])

    muss ich das jetzt so dazunehmen?
    2((x-2)^2 -4 + 4)

    Ja, habs jetzt rausgefunden ;) ich hab -1 * -1 = 2 gerechnet *peindlich*